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    6.8 在直角坐标系下二重积分的计算-习题

    • 资源ID:40243681       资源大?。?span class="font-tahoma">3.53MB        全文页数:24页
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    6.8 在直角坐标系下二重积分的计算-习题

    第6章 多元函数微积分 6.8 在直角坐标系下二重积分的计算 习题解 1.判断对错 ⑴ ( ); 【解】应填“”。因为 原式的积分区域为含内、外边界的圆环, 后式的积分区域为大圆盘中去掉小圆盘,实际上为只有外边界,没有内边界的圆环。 正确的应为。 ⑵ ( )。 【解】应填“√”。因为 原式的积分区域为矩形域,, 于是 ---- 二重积分化二次积分 ---- 对积分时为常数 ---- 两个积分相互独立 ---- 定积分与积分变量无关 。 2.计算下列二重积分 ⑴,其中积分区域为; 【解法一】作出积分区域如图,分为左、右两个型闭区域和 其中左区域的边界为 上曲线,下曲线,左直边,右直边, 得, 右区域的边界为 上曲线,下曲线,左直边,右直边, 得 于是得 。 【解法二】作出积分区域D如图,分为上、下两个型闭区域和 其中上区域的边界为 右曲线,左曲线,上直边,下直边, 得, 下区域的边界为 右曲线,左曲线,上直边,下直边, 得, 于是得 。 ⑵,其中积分区域由坐标轴与所围成。 【解法一】作出积分区域如图, 按型闭区域分析的边界,为 上曲线,下曲线,左直边,右直边, 于是得先后的累次积分 。 【解法二】作出积分区域如图, 按型闭区域分析的边界,为 右曲线,左曲线,下直边,上直边, 于是得先后的累次积分 。 3.按照下列指定的区域将二重积分化为两种积分次序的累次积分 ⑴D由,,所围成的闭区域; 【解】作出区域的图形 ①按型闭区域分析图形的边界,将区域分为上、下两块和, 上块的边界右曲线,左曲线,下直边,上直边, 得 , 下块的边界右曲线,左曲线,下直边,上直边, 得 , 即得先后的累次积分 。 ②按型闭区域分析图形的边界,为 上曲线,下曲线,左直边,右直边, 即得先后的累次积分。 ⑵D由,,,所围成的闭区域; 【解】作出区域的图形 ①按型闭区域分析区域的图形边界,为 上曲线,下曲线,左直边,右直边, 即得先后的累次积分; ②按型闭区域分析区域的图形边界,将区域须分为上、下两块和,如图 的边界为左曲线,右曲线,下直边,上直边, 即得上先后的累次积分; 的边界为左曲线,右曲线,下直边,上直边, 即得上先后的累次积分, 综上得先后的累次积分 。 ⑶D由,,在第一象限中所围成的闭区域。 【解】作出区域的图形 ①作为型闭区域分析区域的图形边界,将区域分为左右两块和,如图 的边界为上曲线,下曲线,左直边,右直边, 即得先后的累次积分; 的边界为上曲线,下曲线,左直边,右直边, 即得先后的累次积分, 综上得先后的累次积分 。 ②作为型闭区域分析区域的图形边界,将区域须分为上下两块和,如图 的边界为左曲线,右曲线,上直边,下直边, 即得先后的累次积分; 的边界为左曲线,右曲线,上直边,下直边, 即得先后的累次积分; 综上得先后的累次积分 。 4.画出积分区域,计算下列二重积分 ⑴,其中由,所围成的闭区域; 【解】由已知作出积分区域的图形 【解法一】按型闭区域分析区域的图形边界,为 上曲线,下曲线,左直边,右直边, 即得累次积分 。 【解法二】按型闭区域分析区域的图形边界,为 左曲线,右曲线,上直边,下直边, 即得累次积分 。 ⑵,其中由,及所围成的闭区域; 【解】由已知作出积分区域的图形 按型闭区域分析区域的图形边界,为 右曲线,左曲线,下直边,上直边, 即得累次积分 。 ⑶,由,及,所围成的闭区域; 【解】由已知作出积分区域的图形 按型闭区域分析区域的图形边界,为 上曲线,下曲线,左直边,右直边, 即得累次积分 。 ⑷,其中由直线,和所围成的闭区域; 【解】由已知作出积分区域的图形 由于被积函数为,若对先积分,须应用三角变换较为复杂,若对先积分,则可以应用第一换元法,较为容易。因此, 按型闭区域分析区域的图形边界,为 上曲线,下曲线,左直边,右直边, 即得累次积分 。 ⑸,其中由曲线与所围成的闭区域; 【解】由已知作出积分区域的图形 若按型闭区域分析区域的图形边界,得 上曲线,下曲线,左直边,右直边, 则先对的积分中,虽函数是的奇函数,但积分区间不是对称区间,从而因不知函数的构造而难以解决积分, 但若按型闭区域分析区域的图形边界,得 左曲线,右曲线,上直边,下直边, 则先对的积分中,由于函数是的奇函数,且积分区间是对称区间,易得其中定积分的值为0而解决该积分。 此时得累次积分 。 ⑹,其中区域。 【解】由已知作出积分区域的图形 【解法一】将积分区域分为左、右两个型闭区域和 D2 D1 其中左区域的边界为 上曲线,下曲线,左直边,右直边, 得 ; 右区域的边界为 上曲线,下曲线,左直边,右直边, 得 , 于是得 。 【解法二】将积分区域D分为上、下两个型闭区域和 其中上区域的边界为 右曲线,左曲线,上直边,下直边, 得 , 下区域的边界为 右曲线,左曲线,上直边,下直边, 得 , 于是得 。 5.改变的积分次序,则下列正确的是( )。 【解】应选“”。因为 根据积分得到积分区域的型闭区域边界为 上曲线,下曲线,左直边,右直边, 即得积分区域的图形为 原积分的积分次序为先后, 要改变积分次序为先后,应得积分区域的型闭区域边界为 右曲线,左曲线,下直边,上直边, 即得先后的积分为。 6.改变下列二次积分的积分次序 ⑴ 【解】根据积分得到积分区域的型闭区域边界为 上曲线,下曲线,左直边,右直边, 即得积分区域的图形为 原积分的积分次序为先后, 要改变积分次序为先后,应得积分区域的型闭区域边界为 右曲线,左曲线,下直边,上直边, 即得先后的积分为。 ⑵ 【解】根据积分得到积分区域的型闭区域边界为 上曲线,下曲线,左直边,右直边, 即得积分区域的图形为 原积分的积分次序为先后, 要改变积分次序为先后,应得积分区域的型闭区域边界为 右曲线,左曲线,下直边,上直边, 即得先后的积分为。 ⑶ 【解】根据积分得到积分区域的型闭区域边界为 上曲线(),下曲线,左直边,右直边, 上曲线(),下曲线,左直边,右直边, 即得积分区域的图形为 原积分的积分次序为先后, 要改变积分次序为先后, 注意到 , 应得积分区域的型闭区域边界为

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